ما هي الأعداد الصحيحة، في الرياضيات وما هي مجموعتها وخصائصها وعملياتها الحسابية المبنية عليها من الأمور المهمة التي يحتاجها الطالب، ليس فقط في الرياضيات، ولكن في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية، حتى في معظم مجالات الحياة وجوانبها التي نحتاجها، حيث سيجيب على جميع استفساراتك بخصوص هذا الموضوع والموضوعات الأخرى التي اثار اهتمامك.
ما هي الاعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية، وهي أرقام لا تأتي في شكل عشري أو كسري. الأعداد الصحيحة في مجموعتها تحتوي على أعداد سالبة وموجبة، بما في ذلك الصفر. في نظرية الأعداد الجبرية، يتم تصنيف الأعداد الصحيحة أحيانًا على أنها أعداد صحيحة منطقية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر شيوعًا، في الواقع (Boolean) هي أعداد صحيحة جبرية هي أيضًا أرقام منطقية، أمثلة على الأعداد الصحيحة هي -5، 0، 1، 5 و 8 و 97 و 3043.
مجموعة من الأعداد الصحيحة
تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها Z ما يلي
- الأعداد الصحيحة الموجبة يكون العدد الصحيح موجبًا إذا كان أكبر من الصفر، على سبيل المثال 1 و 2 و 3 وغيرها.
- الأعداد الصحيحة السالبة تكون الأعداد الصحيحة سالبة إذا كانت أقل من الصفر، على سبيل المثال -1، -2، -3 وغيرها.
- عدد صحيح محايد الصفر ليس عددًا صحيحًا موجبًا أو سالبًا، إنه عدد صحيح محايد. مثال Z = {… -7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …} وأرقام أخرى موجبة وسالبة وأرقام أخرى كلها أعداد صحيحة.
خصائص الأعداد الصحيحة
هناك خمس خصائص رئيسية للأعداد الصحيحة، وهنا شرح مفصل لكل خاصية على حدة
ميزة القفل
- تنص خاصية الإغلاق الخاصة بالجمع والطرح على أن مجموع أو فرق أي عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y هما أي عددين صحيحين، فإن x + y و x – y سيكونان أيضًا عددًا صحيحًا، المثال 1 3-4 = 3 + (−4) = 1، (5) + 8 = 3 النتائج أعداد صحيحة.
- يشير الإغلاق تحت خاصية الضرب إلى أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y أي رقمين صحيحين، فسيكون xy أيضًا عددًا صحيحًا. مثال 2 6 × 9 = 54 ؛ (5) x (3) = 15 وهي أعداد صحيحة.
- لا تحتوي القسمة الصحيحة على خاصية إغلاق، أي أن حاصل قسمة أي عددين صحيحين x و y قد يكون أو لا يكون عددًا صحيحًا، على سبيل المثال 3 (−3) ÷ (−6) = ليس عددًا صحيحًا.
ميزة التبادل
- تنص الخاصية التبادلية للجمع والضرب على أن ترتيب المصطلحات لا يهم، وستكون النتيجة هي نفسها، سواء كانت إضافة أو مضاعفة، لن يغير تبادل المصطلحات المجموع أو المنتج، لنفترض أن x و y أيهما عدد صحيح، إذن ⇒ x + y = y + x، ⇒ xxy = yxx، المثال 4 4 + (−6) = −2 = (−6) + 4، 10 x (−3) = 30 = (3) × 10.
- لكن الطرح (x – y ≠ y – x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) ليسا تبادليين للأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة، على سبيل المثال 5 4 – (6) = 10 ؛ (−6) – 4 = 10 4 – (−6) ≠ (6) – 4، مثال 10 ÷ 2 = 5 ؛ 2 ÷ 10 = 10 2 2 10
خاصية القوس
- تنص الخاصية الترابطية للجمع والضرب على أن شرح طريقة تجميع الأرقام ليست مهمة وأن النتيجة ستكون هي نفسها، ويمكن للمرء تجميع الأرقام بأي شرح طريقة ولكن الإجابة ستبقى كما هي، ويمكن عمل الأقواس بغض النظر عن ترتيب المصطلحات، لنفترض أن x و y و z هي أي ثلاثة أرقام صحيحة ⇒ x + (y + y) = (x + y) + z ⇒ xxx (yxy) = (xxy) xp، المثال 6 1 + (2 + (-3) )) = 0 = (1 + 2) + (3) ؛ 1 × (2 × (−3)) = 6 = (1 × 2) × (−3).
- إن طرح الأعداد الصحيحة ليس ترابطيًا في الطبيعة، أي x – (y – z) ≠ (x – y) – z، مثال 7 1 – (2 – (−3)) = −4 ؛ (1-2) – (−3) = 2، 1 – (2 – (−3)) ≠ (1-2) – (−3)
خاصية التوزيع
يشرح التوزيع القدرة على توزيع العمليات على عملية حسابية أخرى داخل شريحة، ويمكن أن يكون إما خاصية توزيع للضرب على خاصية الإضافة أو خاصية توزيع للضرب عند الطرح، وهنا يتم إضافة الأعداد الصحيحة أو طرحها أولاً ثم يتم ضربها أو مضروبًا أولاً في كل رقم داخل القوس ثم جمعه أو طرحه. يمكن تمثيل ذلك لأي أعداد صحيحة x و y و z على النحو التالي
- ⇒ xx (y + z) = xxy + xx
- ⇒ xx (y – z) = xxy – xx
مثال 8 −5 (2 + 1) = 15 = (5 × 2) + (−5 × 1)
خاصية الهوية
- تنص خاصية الهوية المضافة على أنه عند إضافة أي عدد صحيح إلى الصفر، فإنه سيعطي نفس الرقم، ويسمى الصفر الهوية المضافة لأي عدد صحيح x، x + 0 = x = 0 + x
- تشير خاصية الهوية المزدوجة للأعداد الصحيحة إلى أنه عندما يتم ضرب رقم في 1، فإنه سيعطي نفس العدد الصحيح مثل المنتج، لذلك يُطلق على الرقم 1 الهوية المزدوجة لرقم، لأي عدد صحيح x، xx 1 = x = 1 xx
- إذا تم ضرب أي عدد صحيح في 0، فستكون النتيجة صفرًا xx 0 = 0 = 0 xx
- إذا تم ضرب أي عدد صحيح في -1، فسيكون حاصل الضرب عكس الرقم xx (−1) = −x = (−1) x x.
عمليات على الأعداد الصحيحة
ترتبط العمليات الحسابية الأساسية الأربع بالأعداد الصحيحة وهذه العمليات هي/
مضيفا الأعداد الصحيحة
يتم وضع الرقم صفر في وسط خط الأعداد، وعندما نمتد إلى يمين الصفر لدينا أرقام موجبة وأرقام سالبة تمتد إلى يسار الصفر، وعند إضافة أعداد صحيحة موجبة وأعداد صحيحة سالبة، سنتخيل أننا نتحرك على طول خط الأعداد، إضافة وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، وإضافة طرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، إليك قواعد جمع الأعداد الصحيحة
- عند إضافة رقمين بنفس العلامة، نضع العلامة ثم نضيف على سبيل المثال إذا افترضنا أنه طُلب منا إضافة الرقمين 4 و 3، فسنبدأ بالانتقال إلى الرقم 4 على خط الأرقام، متحركًا أربع وحدات بالضبط على يمين الصفر، إذن علينا تحريك ثلاث وحدات إلى اليمين، بما أننا وضعنا سبع وحدات على يمين الصفر، نقول إن مجموع 3 و 4 يساوي 7، (+3) + (+4) = +4، أو (-3) – (-4) = (-7).
- عند إضافة عددين مختلفين بعلامة، نضع علامة أكبر عندما نطرح) إذا افترضنا أنه طُلب منا جمع العددين 8 و -2، فسنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر و ثم حرك وحدتين إلى اليسار من خلال الموقع الرسميك لأننا نعلم أن الأعداد السالبة تجعلنا ننتقل إلى الجانب الأيسر من خط الأعداد، نظرًا لأن آخر موضع لدينا هو ست وحدات على يمين الصفر، يمكننا القول إن مجموع 8 و – 2 يساوي 6، (-2) + (+8) = +6، (+2) – (-8) = -6.
اطرح الأعداد الصحيحة
تتحول مسائل الطرح إلى مشاكل جمع. يتم اتخاذ خطوتين رئيسيتين عند طرح رقمين
- قمت بتغيير علامة الطرح في السؤال المحدد إلى علامة زائد (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
- اعكس علامة الرقم فورًا بعد علامة الجمع الموضوعة حديثًا (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
وفقًا لهذه الخطوات، يتعين علينا تغيير علامة الطرح إلى علامة الجمع في أي سؤال يتعين علينا أن نأخذ معكوس 3 وهو -3، لذا فإن المشكلة الآن هي
- (+4) + (-3) الآن باستخدام قواعد الجمع، فإن الإجابة التي نحصل عليها هي +1.
- = (+ 4) – (+3)
- = (+ 4) + (-3)
- = + 1
فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى لفهم أفضل
- مثال 1) -2 – 7 = -2 + (-7) = -9
- مثال 2) 6 – (-2) = 6 + 2 = 8
- مثال 3) -7 – (-2) = -7 + 2 = -5
اضرب الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند ضرب عددين صحيحين، نقوم بعملية الضرب بدون علامة، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد ضرب العددين
- تكون علامة النتيجة موجبة إذا كان للرقمين نفس العلامة (+4) x (+3) = +12، (-4) x (-3) = +12.
- تكون علامة النتيجة سالبة إذا كان الرقمان متماثلان مع الإشارة (-4) x (+3) = -12، (+4) x (-3) = -12.
قسمة الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند قسمة عددين صحيحين، نقوم بالقسمة بدون علامة، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد قسمة العددين
- تكون علامة النتيجة موجبة إذا كان الرقمان متماثلان مع الإشارة (+12) ÷ (+3) = +4، (-12) ÷ (-3) = +4.
- تكون علامة النتيجة سالبة إذا كان الرقمان متماثلان مع الإشارة (-12) ÷ (+3) = -4، (+12) ÷ (-3) = -4.