برهن ان مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي، لذا فإن التساوي هو إحدى خصائص العدد الصحيح، والذي يُصنف وفقًا له إلى جزأين العدد الزوجي والعدد الفردي، بحيث يمكن تمييزهما بسهولة عن طريق القسمة على الرقم 2، لأنه قبل القسمة بدون الباقي هو عدد زوجي، وأخرى مصنفة ضمن الأعداد الفردية، ومن خلالها سنتعلم كيفية حل البرهان على أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي.

الأعداد الزوجية والأرقام الفردية

الأعداد الزوجية والأرقام الفردية تتبع مجموعة الأعداد الصحيحة، والفرق بينهما قابل للقسمة على الرقم 2، والأرقام الزوجية تأتي في الشكل (2،4،6،8،10، …) بينما تأتي الأعداد الفردية بالصيغة (1، 3،5،7،9،11،… ..) وهكذا، ومن الممكن أيضًا التفريق بينها من خلال خانة الآحاد في أي رقم، مثل جميع الأرقام التي ينتهي فيها مكان الآحاد بالأرقام (1،3،5،7،9) تعتبر أرقامًا فردية، بينما تعتبر الأرقام التي تنتهي في خانة الآحاد (0،2،4،6،8) زوجية.

إثبات أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي

الدليل الرياضي هو حجة استنتاجية لإثبات صحة بيان رياضي قائم على البديهيات المعروفة. والدليل على أن مجموع رقمين فرديين هو رقم زوجي يأتي على النحو التالي

  • إثبات أن عدد فردي + رقم فردي = رقم زوجي
  • الخطوة الأولى في الحل افترض أن الأرقام الفردية هي 2 أ – 1، 2 ب – 1
  • الخطوة 2 أضف الرقمين 2 أ + 2 ب – 2
  • الخطوة الثالثة قسّم مجموع العددين على 2 2 / (2a + 2b – 2)
    • عند القسمة، نأخذ العامل المشترك من البسط، فيصبح (أ + ب – 1) 2
    • ثم اقسم على 2 لتصبح 2 / (أ + ب – 1) 2
  • نتيجة العملية أ + ب – 1، وهذا يثبت أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي، لأنه لا يوجد باقٍ عند القسمة على 2.

خصائص الأعداد الزوجية والفردية

توجد مجموعة من الخصائص للأرقام الزوجية والفردية، بما في ذلك

  • يتبع كل رقم زوجي رقم فردي، لذا فإن الصفر هو رقم زوجي لأنه يسبق الرقم 1 وهو رقم فردي.
  • يتم ترتيب الأرقام الزوجية والفردية بترتيب منتظم على خط الأعداد، بحيث يكون عددًا زوجيًا، ثم عددًا فرديًا، وهكذا حتى اللانهاية.
  • الأرقام الزوجية والفردية لا نهائية، لذا لا يمكن عدها.
  • يتم التعبير عن الرقم الزوجي بالرقم 2 أ، ويتم التعبير عن الرقم الفردي على أنه 2 أ + 1، نظرًا لأن الرقم أ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة.
  • يتم تقسيم الأرقام الزوجية إلى مجموعتين بالتساوي، بينما تظل الأرقام الفردية صحيحة واحدة.

أمثلة على الأرقام الزوجية والفردية

تأتي الأمثلة التوضيحية للأرقام الزوجية والفردية لتسهيل فهم تعريفها وخصائصها. ومن الأمثلة على ذلك

  • المثال الأول صنف الأرقام التالية إلى أعداد زوجية وفردية 220، 214، 511، 149
    • في حل مثل هذه الأسئلة، القاعدة التي تنص على أن الأرقام التي ينتهي بها خانة الآحاد بالأرقام (1،3،5،7،9) تعتبر أرقامًا فردية، بينما تنتهي الأرقام التي في خانة الآحاد بالأرقام التالية (0،2، 4، 6، 8) أعداد زوجية.
    • الحل 220 عدد زوجي لأن خانة الآحاد تساوي 0.
    • 214 عدد زوجي بما أن خانة الآحاد هي 4.
    • 511 هو رقم فردي لأن خانة الآحاد هي الرقم 1.
    • 149 عدد فردي بما أن خانة الآحاد هي 9.
  • المثال الثاني هل حاصل ضرب الأرقام 47888519 + 78565237 عدد زوجي
    • تنص القاعدة على أن مجموع أي رقمين فرديين هو عدد زوجي.
    • الرقمان في المثال زوجي لأن كلاهما أرقام فردية.
    • الحل عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، وبالتالي تكون النتيجة عددًا زوجيًا (بدون استخدام الآلة الحاسبة، القسمة على 2).